گروه ریاضی منطقه5

در مَجد وشرف یکّه و تنها هستی  / در فخر تو بس ، اُمّ ابیها هستی

مریم که مقدس شده یک عیسی داشت  / تو مادر یازده مسیحا هستی

شهادت حضرت فاطمه زهرا (س) تسلیت باد

قانون جاذبه

اللّهُ الَّذِی رَفَعَ السَّمَاوَاتِ بِغَیْرِ عَمَدٍ تَرَوْنَهَا ثُمَّ اسْتَوی عَلَى الْعَرْشِ وَسَخَّرَ الشَّمْسَ وَالْقَمَرَ کُلٌّ یَجْرِی لأَجَلٍ مُّسَمًّى یُدَبِّرُ الأَمْرَ یُفَصِّلُ الآیَاتِ لَعَلَّکُم بِلِقَاء رَبِّکُمْ تُوقِنُونَ (رعد/ 2)؛ «خدا کسى است که آسمان‏ها را، بدون ستون‏هایى که آنها را ببینید، برافراشت؛ سپس بر تخت (جهان‏دارى) تسلّط یافت؛ و خورشید و ماه را رام ساخت هر کدام تا سرآمد معیّنى روان‏اند. کارها را تدبیر مى‏کند؛ آیات (و نشانه‏هاى خود) را شرح مى‏دهد؛ تا شاید شما به ملاقات پروردگارتان یقین پیدا کنید».

نکته علمی

این آیه با توجه به حدیثی که در تفسیر آن وارد شده است، پرده از روی یک حقیقت علمی برداشته که در زمان نزول آیات بر کسی آشکار نبود؛ چرا که در آن زمان گمان می‌کردند آسمان‌ها به صورت کراتی تو در تو همانند طبقات پیاز روی هم قرار دارند و چنین کراتی طبعاً هیچ کدام معلّق و بی‏ستون نیست، بلکه هر کدام بر دیگری تکیه دارد، ولی حدود هزار سال بعد از نزول این آیات، علم و دانش بشر به اینجا رسید که افلاک پوست پیازی، به کلی موهوم است و آنچه واقعیت دارد، این است که کرات آسمان هر کدام در مدار و جایگاه خود معلّق و ثابتند بی‏آنکه تکیه‌گاهی داشته باشند و تنها چیزی که آنها را در جای خود ثابت می‏دارد، تعادل قوة جاذبه و دافعه است که یکی با جرم این کرات ارتباط دارد و دیگری به حرکت آنها. این تعادل جاذبه و دافعه به صورت یک ستون نامریی، کرات آسمان را در جای خود نگه داشته است.

حدیثی که از امیر مؤمنان علی(ع) در این زمینه نقل شده، بسیار جالب است. طبق این حدیث امام فرمود: «هذه النجوم التی فی السماء مدائن مثل المدائن التی فی الارض مربوطة کل مدینة الی عمود من نور؛ این ستارگانی که در آسمانند، شهرهایی هستند همچون شهرهای روی زمین که هر شهری با شهر دیگر (هر ستاره‏ای با ستاره دیگر) با ستونـــی از نور مربوط است» (مجلسی، بحارالانوار، 55/ 91).

آیا تعبیری روشن‌تر و رساتر از ستون نامریی یا ستونی از نور در افق ادبیات آن روز برای ذکر امواج جاذبه و تعادل آن با نیروی دافعه پیدا می‏شد؟ سپس می‏فرماید: خداوند بعد از آفرینش این آسمان‌های بی‏ستون که نشانه بارز عظمت و قدرت بی‏انتهای اوست، بر عرش استیلا یافت؛ یعنی حکومت عالم هستی را به دست گرفت (مکارم شیرازی، تفسیر نمونه، 10/ 111).

هم‌چنین در تفسیر نمونه ذیل آیه‌ 10 سوره لقمان در باره نیروی جاذبه چنین آمده است:عمد (بر وزن قمر) جمع عمود به معنی ستون است و مقید ساختن آن به «ترونها» دلیل بر این است که آسمان ستون‌های مریی ندارد. مفهوم این سخن آن است که ستون‌هایی دارد، اما غیر قابل رؤیت نیست. تعبیری که دراین آیه به کار رفته است، اشاره لطیفی است به قانون جاذبه و دافعه که همچون ستونی بسیار نیرومند اما نامرئی، کرات آسمانی را در جای خود نگه داشته است.

در حدیثى که حسین بن خالد از امام على بن موسى الرضا(ع) نقل کرده، به این معنى تصریح شده است. ایشان فرمودند: «سبحان اللَّه، الیس اللَّه یقول بِغَیْرِ عَمَدٍ تَرَوْنَها؟ قلت بلى، فقال: ثم عمد و لکن لا ترونها؛ منزه است خدا، آیا خداوند نمى‏فرماید بدون ستونى که آن را مشاهده کنید؟ راوى مى‏گوید: عرض کردم: آرى، فرمود: پس ستون‌هایى هست ولى شما آن را نمى‏بینید» (تفسیر القمی، 2/ 125. به هر حال، جمله فوق یکی از معجزات علمی قرآن مجید است (همان، 17/ 29).

بررسی

در مورد انطباق قانون جاذبه عمومی با آیات مورد بحث، تذکر چند نکته لازم است. نکته اول ـ در تفسیر «بغیر عمد ترونها» به نیروی جاذبه دو نکته تأمل‌برانگیز است. الف) آنکه کلمه «عمد» جمع است و به معنی «ستون‌ها» می‌باشد. پس هر چند تفسیر آن به نیروی جاذبه ممکن است، ولی امکان دارد که مقصود از ستون‌ها چندین نیروی متفاوت باشد که یکی از آنها نیروی جاذبه است و چه بسا آیندگان با پیشرفت علم آن را کشف کنند. پس حصر عمد (ستون‌ها) در نیروی جاذبه، صحیح به نظر نمی‌رسد.

ب) «سماوات» در قرآن معانی متعددی دارد؛ مثل: جهت بالا، جوّ زمین، کرات آسمانی، آسمان‌های معنوی، ستارگان، سیارات و... . در اینجا در صورتی تفسیر آیه به نیروی جاذبه صحیح است که آسمان را به معنای «کرات آسمانی» معنا کنیم. اما با توجه به سیاق آیه 10 سوره لقمان که در مورد نزول باران از آسمان سخن می‌گوید و آسمان‌ها را در مقابل زمین به کار می‌برد و در آیه 2 و 3 سوره رعد که به دنبال ذکر آسمان‌ها از خورشید و ماه و سپس زمین سخن می‌گوید، معلوم می‌شود که قدر متقین از آسمان در این موارد، همان آسمان مادی یعنی کرات آسمانی یا طبقات جوّ زمین و... است.

نکته دوم ـ در مورد آیه 41 سوره فاطر نیز سه نکته تأمل‌برانگیز است.یکی اینکه در اینجا هم باید «آسمان‌ها» را به معنای کرات آسمانی فرض کنیم. دوم اینکه نگهداری آسمان و زمین توسط خدا را به معنای نگهداری آنها توسط نیروی جاذبه معنا کنیم. آری، ممکن است که خداوند توسط وسایل و نیروهای متعددی آسمان‌ها و زمین را نگه‌دارد تا منحرف نشوند که نیروی جاذبه یکی از آنهاست نه تمام آنها. پس انحصار معنای آیه فوق در نیروی جاذبه صحیح نیست.

سوم اینکه این آیه دو تفسیر دارد و بر اساس یکی از آنها قابل انطباق با نیروی جاذبه است.نتیجه آنکه احتمال دلالت آیات 10 سوره لقمان و آیه 2 سوره رعد بر نیروی جاذبه قوی است، ولی معنای آنها منحصر در نیروی جاذبه نیست، بلکه نیروی جاذبه یکی از مصادیق «عمد» (ستون‌ها) می‌باشد. به هر حال، این یک اشاره علمی قرآن به شمار می‌آید که با توجه به عدم اطلاع مردم و دانشمندان عصر نزول قرآن از نیروی جاذبه، عظمت قرآن کریم را در بیان اسرار علمی روشن می‌سازد و می‌تواند اعجاز علمی قرآن به شمار آید (رضایی اصفهانی، پژوهشی در اعجاز علمی قرآن، 1/ 155).

عصبانی و ناراحت بود ، نمره های امتحان بچه ها در حد انتظارش نبود ؛ با خود می گفت : قضیه فیثاغورس که در سال قبل تدریس شده ، بارها در درس امسال تکرار شده است و مسائل مختلفی در مورد آن حل کرده ایم ، چرا دراین مورد هم اکثریت اشتباه کرده اند ؟ از نظر او این نتیجه کاملا غیرعادی بود ؛ تصمیم گرفت که ازتک تک دانش آموزان بپرسد که چرا درمورد قضیه فیثاغورس اشتباه کرده اند ؛ دانش آموزان با اضطراب و ترس از عصبانیت و خشم او پاسخ هایی می دادند که بیشتر بهانه بود تا دلیل !ما یکی از دانش آموزان در پاسخ گفت :

 

اگر می دانستم ، فیثاغورس «چرا» و «چگونه» این قضیه را کشف کرده است ، آن گاه قضیه فیثاغورس را برای همیشه می فهمیدم !

 

این دیگر بهانه نبود ، پاسخی حکیمانه بود...!

راستی چرا قضیه فیثاغورس کشف شد ، این قضیه چگونه کشف شد ؟قضیه تالس چه طور ؟ به طور کلی ، چرا مفاهیم ریاضی ، تعریف ها ، قضیه ها  کشف می شوند ؟ این کارها چگونه انجام می گیرد ؟ مردمانی که این کشف ها را انجام می دهند ، چه کارهایی می کنند که می توانند کشف کنند ؟ آیا در خواب می بینند یا به آنها الهام می شود ؟ آیا قضیه های ریاضی ، تعریف های ریاضی و به طور کلی ایده های ریاضی به یک باره کشف می شوند ، آیا این ایده ها در زمانی که کشف شده اند به همین صورت بوده اند یا تغییراتی داشته اند ؟ پس از اینکه قضیه ای کشف شد چگونه اثبات می شود ؟ مسئله حل کن های ماهر برای اولین بار چگونه یک مسئله را حل می کنند ؟ راه حل ها ، اثبات ها چگونه به ذهن اینگونه مردمان می رسد ؟ سرچشمه کجاست ؟

در این مطالب گردآوری شده برآنیم تا بدانیم طبیعت چگونه انسان ها را به سوی این اکتشافات رهنمون گردیده است ؟

ارتباط ریاضی با طبیعت در چیست ؟

آیا ریاضی می تواند توجیه کننده پیچیدگی های طبیعت پیچیده ما باشد ؟

چگونه می توانیم با مرتبط ساختن این دو مقوله بر هم دیگر دانش آموزمان را در فهم هرچه بهتر مطالب یاری نماییم؟

 

 

  بسیار پیش می آید که دانش آموزان پس از تدریس یک درس ، از ما می پرسند که  این درس که امروز خواندیم ،به چه درد ما می خورد؟و کجامی توانیم ازآن استفاده کنیم ؟

    ریاضیات به  عنوان  یک درس اصلی  است که داشتن درک  درست  از آن در آینده ی تحصیلی   دانش آموزان و  طبعاً پیشرفت  علمی کشور نقش  مهمی دارد .  همچنین  شامل  کلیه  ارتباطات  ریاضی   با زندگی روزمرّه ،  سایر علوم  و  کاربردهایی در زندگی علمی آینده ی دانش آموز است .به این ترتیب دربرنامه درسی و آموزشی ،    برقرار کردن پیوند  ریاضیات با کاربردهایش  در زندگی و سایر علوم از قبیل :هنر،علوم طبیعی ،علوم اجتماعی و . . . .      باید مدّ  نظر قرار گیرد .  در صورتی که این موارد در آموزش دیده نشود ، این سؤ ال همیشه در ذهن دانش آموز باقی می ماند که:

     « به چه دلیل باید ریاضی خواند ؟ »   و  « ریاضی به چه درد می خورد ؟ »

دراین مقاله سعی شده است که ارتباط دروس کتب ریاضی راهنمایی با سایر علوم طبیعی  و   همچنین  کاربرد آنها در دنیای  امروز و طبیعت تا حدودی بررسی شود و ارائه گردد .

 

مقدمه

 

   بین رشته های علمی ، که بشر در طول  هزاران سال به وجود آورده ، ریاضیّات جای مخصوص و ضمناٌ مهمّی را  اشغال کرده است . ریاضیّات با علوم فیزیک  ، زیست شناسی ،  اقتصاد و فنون مختلف فرق دارد  .  با وجود این به عنوان  یکی  از روشهای اصلی در بررسیهای مربوط به  کامپیوتر ، فیزیک  ، زیست شناسی  ، صنعت واقتصاد بکار می رود ودرآینده بازهم نقش ریاضّیات گسترش بیشتری می یابد.

   با وجود این مطلب ،  برای آموزش جوانان هنوز از همان روشی استفاده می شود که سقراط و افلاطون ،  حقایق  عالی  اخلاقی را برای  شیفتگان منطق و   فلسفه و برای علاقمندان سخنوری و علم کلام بیان می کردند . در حقیقت در  درسهای حساب ، هندسه و جبر ،هرگز لزوم یادگیری آنها برای زندگی عملی  خاطر نشان نمی شود. هرگز از تاریخ علم صحبتی به میان نمی آید.   نظریه های سنگین علمی ، ولی هیچ نتیجه ای جز این ندارد که دانش آموزان را از علم بری کند و عدّه ی آنها را تقلیل دهد .

  یکی از راههای جدی برای حلّ مسئله توجه به تاریخ علم، گفتگو در باره ی مردان علم و ارتباط   ریاضی با عمل است ، ارتباطی که در تمام دوران زندگی بشر هرگز قطع نشده است .

شروع ریاضیات از طبیعت

در روزگاران قدیم که کار بیشتر مردم کشاورزی و گله داری بود  ، زمین کشاورزی و مرتع اهمیت زیادی داشت . در آن زمان برای تقسیم مراتع از روش های گوناگونی استفاده می شد . یکی از این روش این بود که هر گله دار با استفاده از یک ریسمان معیار به دارازای مشخص سهم خود را از مراتع جدا می نمود و سپس آن را با علامت هایی نشانه گذاری می نمود حالا از کجا می توانست فهمید که با این ریسمان چگونه می توان صاحب وسیعترین مرتع شد؟

 

هندسه که از دیرباز یاور بشر بوده است از اندازه گیری زمین کشاورزی و پس از آن ساختمان سازی و ابزار سازی ، نمونه هایی از کاربردهای  هندسه هستند . ریاضی دانان دوران باستان به هندسه به عنوان علم محض نیز توجه ویژه ای داشتند . دستاوردهای آنان توسط اقلیدس فیلسوف و ریاضی دان یونان باستان به صورت یک دستگاه منطقی تدوین و گرداوری شد و نقش ویژه ای در تربیت فکر و آموزش تفکر منطقی پیدا کرد ؛ به گونه ای که تا سال ها هماوردی نداشت .

در طول تاریخ پیوند بین ایده های ریاضی به ویژه هندسه و هنر ، مظهر و تجلی گاه روح زیبایی شناسی اندیشه های بلند انسان بوده است . طوری که در جای جای زندگی بشر حضور داشته است .

در طبیعت ساختارهای هندسی نمود فراوانی دارند که از آن جمله می توان شش ضلعی های منتظم در کندوی زنبور عسل ، مسیر حرکت سیارات و نقش های گیاهان را نام برد.

نظم هندسی طبیعت از یک سو ریاضی دانان را به شناخت مبانی ریاضی و هندسی پدیده های گوناگون برانگیخته است و از سوی دیگر هنرمندان برای آفرینش آثار هنری خود از آن الهام گرفته اند . نقش های معماری ایرانی – اسلامی و تزیین های هنری ژاپن از این جمله اند.

 

از ارتباط ریاضیات با طبیعت بسیار می توان بیان کرد برای نمونه :

پس از اهرام مصر ، مشهورترین مجموعه چندوجهی ها در زمان های باستان ، مجموعه اجسام منتظم است . به نظر می رسد تائتتوس ، ریاضی دان یونانی (369-415 ق . م ) اولین کسی است که با آن ها ریاضی گونه برخورد کرده است . افلاطون ( 347- 427 ق . م ) چند وجهی های منتظم را با کیهان شناسی خود درآمیخت . تیمائوس ، در گفت و گوی خود روی چهار «عنصر» - که همه چیز از آنها تشکیل شده است – بحث می کند . اجزای زمین به شکل مکعب هستند و به حالتی استوار روی قاعده شان قرار دارند . اجزای هوا که هشت وجهی های منتظم هستند سبک اند و اگر روی رئوس مخالف نگاه داشته شوند ، به آزادی می چرخند ، اجزای آتش چهار وجهی های منتظم هستند و گوشه های تیزی دارند . اجزای آب بیست وجهی های منتظم و تقریبا کروی هستند و مانند مایعات می توانند بغلتند .

یوهانس کپلر با نسبت دادن دوازده وجهی به کل جهان – شاید چون دوازده وجه آن با دوازده نشان دایرة البروج متناظر بود – به کیهان شناسی افلاطون مطالبی افزود . به این ترتیب هر چند وجهی منتظم ، با یکی از جنبه های دنیا متناظر می شد . کپلر از این فراتر رفت و چندوجهی های منتظم را به دستگاه کپرنیک و سیارات در حال حرکت در مدار خورشید وارد ساخت و از آنها برای توضیح وجود شش سیاره و فاصله خاص این سیارات از مرکز خورشید استفاده کرد . اما این ها تمام داستان چندوجهی های منتظم نیست . ریاضی دانان هنوز به مطالعه این مشغول و دانشمندان برای توصیف اشکال مولکول ها ، بلورها و ترکیبات موجودات زنده ، به استفاده از آنها ادامه می دهند . 

 

 

 کاربرد ارقام

 

  در زمانهای قدیم هر قدمی که در راه پیشرفت تمدّن برداشته می شد، بر لزوم استفاده از اعداد می افزود .  اگر شخصی گله ای از گوسفندان داشت ، می خواست آن را بشمرد ،یا اگر می خواست معبد یا هرمی بسازد ،  باید  می دانست که  چقدر سنگ برای آن لازم دارد . اگر دارای زمین بود ، می خواست آن رااندازه گیری کند . اگر قایقش را به دریا می راند ، می خواست فاصله ی خود را از  ساحل بداند .  و بالاخره در تجارت و مبادله ی اجناس در بازارها ، باید ارزش اجناس حساب می شد.هنگامی که آدمی محاسبه با ارقام را آموخت  ،  توانست زمان ،  فاصله مساحت ، حجم را اندازه گیری کند .  با بکار  بردن ارقام ، انسان  بردانش و تسلّط خود بر دنیای پیرامونش افزود .

 

کاربرد توابع و روابط بین اعداد

 

  کاربرد روابط بین اعداد و توابع و نتیجه گیریهای منطقی در نوشتن الگوریتمها و برنامه نویسی کامپیوتری است .

  مفهوم تابع یکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است و در اصل تابع نوعی خاص از رابطه های بین دو مجموعه است . و با توجه به این که دنباله ها هم حالت خاصی از تابع است – تابعی که دامنه آن مجموعه ی اعداد { . . . و 2 و 1 و 0 } است – دنباله های عددی در ریاضی و کامپیوتر کاربرد فراوان دارند .  برای  ساخت  یک برنامه اساساٌ چهار مرحله را طی می کنیم :

1- تعریف مسئله

2- طراحی حل

3- نوشتن برنامه

4- اجرای برنامه

لازم به ذکر است که گردآیه هایی که در مرحله دوم حاصل می شود را اصطلاحاٌ الگوریتم می نامیم .که این الگوریتمهابه زبان شبه کد نوشته می شود ،که شبیه زبان برنامه نویسی است وتبدیل آنها به زبان برنامه نویسی را برای ما بسیار ساده می کند .

 

 

 

« هیچ دانسته ی بشر را نمی توان علم نامید، مگر اینکه از طریق ریاضیّات توضیح داده  شده و ثابت شود . » ( لئو ناردو داوینچی )

 

 کاربرد معادله و دستگاه معادلات خطی

 

  دستگاه های معادلات خطی اغلب  برای حساب کردن بهره ی ساده ،پیشگویی ، اقتصاد و پیدا کردن نقطه ی سر به سر به کارمیرود.

  معمولاً هدف از حل کردن یک  دستگاه معادلات خطی ،  پیدا کردن محل تقاطع دو خط می باشد.در مسائل دخل و خرج که درمشاغل مختلف وجود دارد ، پیداکردن نقطه تقاطع  معادلات خط  یعنی همان پیدا کردن نقطه ی سر به سر.^*  در اقتصاد هم نقطه تقاطع معادلات خطی ، عبارتست  از : قیمت بازار یا نقطه ای که در آن عرضه و تقاضا با هم برابر باشند.

 

 

 کاربرد تقارنها (محوری و مرکزی ) و دَوَرانها

 

   مباحث تقارنها ودورانها که به تبدیلات هندسی معروف هستند،درصنعت و  ساختن وسائل و لوازم زندگی استفاده می شوند . مثلاً در بافتن قالی و برای  دادن نقش و نگار  به آن از تقارن استفاده می شود . در کوزه گری و سفالگری از دوران محوری استفاده می  شود . همچنین در معماریهای اسلامی  اغلب  از تقارنها کمک گرفته می شود . چرخ گوشت ، آب میوه گیری ، پنکه ، ماشین تراش با دورانی که انجام می دهند ، تبدیل انرژی می کنند . علاوه بر آن تبدیلات هندسی برای آموزش مطالبی از ریاضی استفاده می شوند ،مانند : مفهوم جمع و تفریق  اعداد  صحیح با استفاده از بردار انتقال موازی محور.

 

  نقطه ی سر به سر : در بسیاری از مشاغل ، هزینه ی تولید Cو تعداد X کالای تولید شده را می توان به صورت خطی بیان کرد.به همین ترتیب ، در آمد R حاصل از فروش X قلم کالای تولیدشده را نیز می توان با یک معادله ی خطی نشان داد . وقتی هزینه ی C از در آمد R حاصل از فروش بیشتر باشد،این تولیدضررمی دهد. و وقتی در آمد R از هزینه ی C بیشتر باشد ،تولید سودمیدهد . و هر گاه در آمد R و هزینه ی  C  مساوی باشند ،سود و زیانی در بین نیست و نقطه ای که در آن R=C باشد،  نقطه ی سربه سر نامیده می شود .

 کاربرد مساحت

 

  مفهوم مساحت و تکنیک  محاسبه  مساحت  اشکال  مختلف ، از اهمّ مطالب هندسه است .به سبب کاربرد فراوانی که در زندگی روزمرّه مثلاً برای محاسبه ی  مساحت زمینها با اَشکال مختلف . و همچنین درفیزیک و جغرافیاوسایر دروس دانستن مساحتهالازم به نظرمی رسد .

 

 

کاربرد چهار ضلعیها

 

  شناخت  چهارضلعیها و و  دانستن  خواص  آنها ، برای یادگیری مفاهیم دیگر هندسه لازم است و ضمناً در صنعت و  ساخت ابزار و وسائل زندگی و همچنین برای ادامه تحصیل وهمینطور در بازار کار نیاز به دانستن خواص چهارضلعیها احساس می شود .

 

 

کاربرد خطوط موازی و تشابهات

 

  از خطوط موازی  و مخصوصاً متساوی الفاصله  ، در نقشه کشی و ترسیمات استفاده می شود .و در اثبات احکامی نظیر قضیه تالس¹ و عکس آن ، همچنین تقسیم پاره خط به قطعات متساوی یامتناسب .

تشابهات نیز از مفاهیم مهم هندسه و اساس نقشه برداری ،کوچک و بزرگ کردن نقشه ها و تصاویر و عکسها می باشد .

 

  مبحث تشابهات درهندسه دریچه ای است به توانائیهای جدیدبرای درک و فهم و کشف مطالب تازه ی هندسه ،به همین سبب آموزش خطوطمتوازی و متساوی الفاصله و مثلثهای متشابه به حد نیاز دانش-

آموز مقطع راهنمایی لازم است .

 

 

1 – تالس دانشمند یونانی نشان داد که به وسیله ی سایه ی یک   شیء و مقایسه ی آن با سایه ی یک خط کش می توان ارتفاع آن    شیء را اندازه گرفت .   با استفاده از اصولی که تالس ثابت کرد ،می توان بلندی هر چیزی را حساب کرد .  تنها چیزی که نیاز دارید ، یک  وسیله ی ساده اندازه گیری است که می توانید[آن را ] از یک قطعه مقواو تکه ای چوب درست کنید.( مراجعه شودبه کتاب درجهان ریاضیات نوشته ی اریک او بلاکر – صفحه ی 30 )

تالس در زمان خود به کمک قضیه ی خودارتفاع اهرام مصررامحاسبه کرد همچنین وقتی از مصر به یونان بازگشت  ، فاصله ی  یک کشتی را از ساحل به کمک قضیه خود اندازه گرفت .روش دیگری هم برای

محاسبه بلندی وجود دارد وآن استفاده از نسبتهای مثلثاتی است.

 

 

 

 

 کاربرد آمار و میانگین

 

   وقتی کسی از مقادیر عددی کمک می گیرد ، تا یک  موقعیّت را توضیح دهد ، او وارد  قلمرو آمار شده است .  آمار معمولاً اثر تعیین کننده ای دارد . اگر چه ممکن است مفید  یا گمراه کننده باشد . ما عادت کرده ایم، که پدیده های زیادی نظیرموارد زیر را با توجه به آمار ، پیش بینی کنیم :

احتمال پیروزی یک کاندیدای ریاست جمهوری،وضعیت اقتصادی(تورم،در آمد ناخالص ملی ، تعداد بیکاران ،کم وزیادشدن نرخ بهره هاونرخ سهام ، بازار بورس ، میزان بیمه ، آمار طوفان،جذر و مد) و غیره .

 

  قلمرو آمار به طور مرتب درحال بزرگ شدن است.آمار می توانددر موارد زیادی ، برای قانع کردن مردم و یا انصراف آنهااز یک تصمیم موءثّر باشد . به عنوان مثال : اگر افراداحساس کنند که رأی  آنها نتیجه ی انتخابات را تغییر نخواهد داد ، ممکن است ازشرکت در انتخابات صرفنظر کنند .

 

  در عصر ما آمار ابزار قوی و قانع کننده است،مردم به اعدادمنتشر شده ی حاصل از آمار گیری ،اعتماد زیادی نشان می دهند.

به نظر می رسد وقتی یک وضعیت وموقعیت باتوسل به مقادیر عددی توصیف می شود ، اعتبار گزارش در نظر مستمعین بالا می رود .

 

 

 

 

مقاطع مخروطی

 

 در هوای گرم بستنی بسیار خوشمزه ودلچسب است .بخصوص اگر بستنی قیفی داشته باشید ودر حالی که روی یک صندلی و در سایه درختی نشسته باشید و فارغ از جار و جنجال روزگار ، به خوردن بستنی  مشغول باشید. شاید همه چیز از ذهن شما بگذردمگرهمان بستنی قیفی که مشغول خوردن آن هستید .

 این مطلب توجه یک ریاضیدان بلژیکی خوش ذوق رابه خودجلب کرد و آن رابرای توضیح یکی ازمطالب مهم ریاضی[یعنی مقاطع مخروطی]بکار برد . واقعاً جالب است مگه نه ؟

مقاطع مخروطی یکی از مباحث مهم و کاربردی  در ریاضیات بوده وهست .

 

 

 ترسیمات هندسی

 

  در ترسیمات  و آموزش  قسمتهای دیگر هندسه، نیاز فراوان به شناخت دایره و اجزاو  خواص  آن پیدا می شود ، لذا در دوره ی راهنمایی ، مفهوم دایره ،وضع نقطه و خط نسبت به دایره،زاویه مرکزی ،  زاویه محاطی  و تقسیم دایره به کمانهای متساوی آموزش داده می شود و به این ترتیب دانش آموز برای  یادگیری  مطالب بعدی و استفاده ی عملی از آنها آماده می شود . (همچنین من فکرمیکنم از زاویه ی  محاطی و  اندازه ی آن  برای  نورپردازی در سالنهااستفاده می شود . )

 

 

 

کاربرد ریاضیات در هنر و کامپیوتر

 

  تاریخ نشان می دهد که در طی  قرون ، هنرمندان وآثارشان تحت تأثیرریاضیات قرار گرفته اند ،و زیبائی اثرشان به آگاهی آنها از این دانش بستگی داشته است .ماهم اکنون استفاده ی آگاهانه از مستطیل طلایی ، و نسبت طلایی را در  هنر یونان باستان ، به ویژه درآثارپیکرتراش یونانی« فیدیاس »دقیقآ مشاهده می کنیم.

مفاهیم ریاضی از قبیل نسبتها ، تشابه، پرسپکتیو، خطای باصره تقارن ، اشکال هندسی ، حدود و بینهایت در آثار هنری موجوداز قدیم تا به امروز  مکمل  زیبایی آنها بوده است . و اکنون نیز « کامپیوتر » به کمک ریاضیات هنر را ازابتدایی تامدرن توسعه می دهد.

 

 اگر آگاهی هنرمندان باریاضیات واستفاده ی عملی از ان نبود،برخی از آثار هنری  خلق نمی شدند . بهترین  نمونه ی  آن  تصاویر موزائیکی هنرمندن مسلمان وگسترش این شکلهای هندسی به وسیله ی

« M.S.Esher  » جهت نشان دادن اجسام متحرک است .اگر هنرمندان به مطالعات توجهی نداشتندوخصوصیات اشکال را از نظر تطابق،تقارن انعکاس ،دوران ، انتقال و . . . کشف  نکرده بودند ، خلق این همه آثار هنری امکان پذیر نبود .

 

 

« هنر ریاضیات ،هنرپرسیدنِِِ پرسشهای درست است وقطعه ی اصلی کار در ریاضیات تخیل است و آن چه که این قطعه ی اصلی رابه حرکت درمی آوردمنطق می باشدوامکان استدلال

منطقی آن زمان پدید می آیدکه ما پرسشهای خود رادرست مطرح کرده باشیم.»          (نوربرت ونیز )

 

 چرا ریاضیات و هنر تا این اندازه به هم نزدیکند؟


طبیعت، سرچشمه زاینده و بی‌پایانی است برای انگیزه دادن به هنرمند و ریاضی‌دان. آنها از درون خود و از ایده‌ها سود می‌جویند وحقیقت را نه تنها آن گونه که مشاهده می‌شود، بلکه آن که باید باشد و آرزوی آدمیاست، می‌بینند هنر. و ریاضیات هر دو کمال و ایده‌آل را می‌جویند.

ریاضیات کلید طلایی برای زیبایی شناسی

طبیعت عنصر تقارن را عنوان نشانهزیبایی به هنرمند تلقین می‌کند و سپس ریاضی‌دان با کشف قانونمندیهای تقارن بهمفاهیم شبه تقارن , تقارن لغزنده می‌رسد وکوبیسمرا به هنرمند (نقاش ، شاعر یا موسیقی‌دان) تلقین می‌کند. نغمه‌ها و آواهای موجود در طبیعت الهام دهنده ترانه‌های هنرمندانبوده و ریاضیدانان با کشف قانونهای ریاضی حاکم بر این نغمه‌ها و تلاش در جهت تغییرو ترکیب آنها گونه‌های بسیار متفاوت و دل انگیزی در موسیقی آفریده‌اند. هر زمان کهمحاسبه درست ریاضی در نوشته‌های ادبی رعایت شده، آثار جالب و ماندگار و نزدیک بهواقعیت و قابل قبول برای مخاطب خلق شده است. یکی از نمونه‌های این مساله رعایت توجهصحیحآندره یه ویچدر افسانه ثروتمندفقیر به محاسبات ریاضی در داستان خود می‌باشد (البته بدون وارد کردن محاسبات عددی) که آن را به اثری ماندگار وقابل پذیرش تبدیل کرده است. ترسیمهای هندسی و نسبت زرین کمک شایانی به هنرمندانمعمار و برج ساز و ... می‌کند.

 کاربرد حجم

 

  به سبب نیازی که دانش آموز در زندگی روز مرّه و همین طور در بکار گیری آن در سایر علوم نظیر ، شیمی ، فیزیک ،زیست شناسی و مخصوصاً هنر برایش پیش می آید،همچنین در شغلهایی که در جامعه وجود دارد و یا در ادامه تحصیل دانستن  دستورهای  محاسبه ی حجماجسام ، یادگیری مبحث حجم ضروری به نظر می رسد .

 

 

کاربرد رابطه ی فیثاغورس

 

  فیثاغورث در باره ی رابطه های عددی که درساختمانهای هندسی وجود دارد تحقیق می کرد . او مثلث  معروف به مثلث مصری را ، که ضلعهای آن با عددهای 3و4و 5 بیان می شود ، را می شناخت .

مصریها می دانستند که چنین مثلثی قائم الزاویه است .و ازآن برای تعیین زاویه های قائمه در  تجدید  تقسیم بندی  زمینهای اطراف نیل ،که هر سال بر اثر طغیان آب شسته می شد ، استفاده می کردند.

   یکی از مشکلترین مسائل در ساختن اهرام و معبدها ،طرح شالوده بنا به شکل مربع کامل بود که هم تراز باسطح افق باشد . جزئی اشتباه به قیمت از شکل افتادن همه ی بنا تمام می شد .

   مصریان این مشکل رابا ساختن شاقول از میان برداشتند. نخستین شاقول احتمالاً تکه ریسمان یا نخی بود که وزنه ای به آن آویخته بودند و ان را در برابر بنا می گرفتند تا وزنه ی آن به زمین صاف برسد . در این حالت نخ می بایست کاملاً عمودیا شاقول باشد و زاویه ی بین آن و زمین صاف یک زاویه ی قائمه بسازد.

 همچنین معماران کشف کردندکه چگونه  می توان  با  ریسمان های اندازه گیری که درفاصله های مساوی گره خورده بودند، مثلثهای قائم الزاویه ای بسازند و  این مثلثها را  راهنمای  خویش در ساختن گوشه ها ( نبش ها )ی بنا قرار دهند .

 

ریاضیات وطبیعت زیبا
علم لقمه برگرفتن از سفره طبیعت است . و ریاضی زاییده احتیاج و در آغازمبتنی بر تجربه. ریاضیات انعکاس دنیای واقعی در ذهن ماست. به عقیده بعضی‌ها :ریاضیات زیباترین زبان برای توصیف طبیعت و روابط بین پدیده‌های طبیعی است.
سیلوستر می‌گوید:”ریاضیات ،مطالعه شباهتها در تفاوتها و مطالعه تفاوتها درشباهتهاست.”
علت اساسی موفقیت ریاضیدانان در آفریدن علمی به این زیبایی که عمیق‌ترین معرفت بشری شمرده می‌شود:سخت‌گیری بدون بخشش کوچکترین خطاها در کنار روش و معیارهای منطقی آنها به همراه جدیت ، خلاقیت ، به غایت اندیشیدن و نیز بلند پروازی و جسارت شکستن هر چه موجود است. به هر قسمت از زندگی و طبیعت که کنجکاوانه و با دقت بنگریم ، اثر مستقیم یا غیر مستقیم ریاضیات در آن مشاهده می‌کنیم. نمونه آن کشف اخیر این مساله توسط دانشمندان است که :” یکی از انواع حشرات که بر روی شاخ و برگ درختان لانه سازی می‌کند، روش کارش بر اساس یک فرمول پیچیده ریاضی است.”
در حالت کلی ریاضیات راه های متعددی برای باز شدن فکر در اختیار ما قرار دارد که از مهمترین آنها مطالعه ی ریاضیات از جمله شاخه ی تر کیبیات است.ریاضیات این کمک را به ما میکند تا مشکلات و موضوعات زندگی را بهتر و راحت تر تجزیه و تحلیل کنیم.
آمارهای جهانی نشان می دهد طلاق در خانواده هایی که حداقل یکی از همسران ریاضی خوانده است در مقایسه با سایر خانواده ها بسیار کمتر است.

ریاضیات و علوم
اکثر ریاضیدانان بگونه طبیعت شناس هستند یا اینکه هم فیزیکدان و هم ریاضیدان هستند. یعنی فیزیکدانان برای حل مشکلی از طبیعت یا بررسی مسایل طبیعی به ریاضیات مراجعه نموده‌اند.
بنابرین با ابزار ریاضی و ذهن خلاق فیزیکی میتوان پرده از خیلی مبهمات و مجهولات برداشت و ریاضی فیزیکی شد.
و به کشفهای بزرگی دست یافت که الگوی دانشمندان هم این بوده‌ است.
پس علوم مختلف بهم تنیده شده و مکملهای همدیگرند.
رشد یکی به دیگری وابسته هست و لازم پیشرفت در یک شاخه از علم پیشرفت در شاخه ای دیگر هم هست. مثالهای زیر این مسیله را برای ما روشن تر میکند.

کارل فردریک گوس (۱۷۷۷-۱۸۵۵) روی نقشه های جغرافیایی کار می گرد. با روش گوس توانستند بسیاری از نقشه های جغرافیایی را نقشه برداری اصلاح کنند. ولی این روش که برای تهیه و تصحیح نقشه های جغرافیایی در نظر گرفته شده بود، برای حل مساله ی حرکت آب در اطراف یک جسم و یا حرکت هوا در اطراف بال هواپیما هم به کار گرفته شد.
می بینید، ریاضیات سالها از صنعت جلوتر است و انسان می تواند به یاری ریاضیات مساله های پیچیده ی صنعت را حل کند. به کمک یک نظریه ی ریاضی که پیش تر کشف شده بود توانستند مساله های عملی مهمی را حل کنند.
جیمس کلارک ماکسول (۱۸۳۱-۱۸۷۹) فیزیکدان انگلیسی، قانون نوسان های الکترو مغناطیسی را به یاری معادله های ریاضی بیان کرد. او با روش خالص ریاضی نتیجه گرفت و ثابت کرد موجهای الکترو مغناطیسی با سرعتی نزدیک به سرعت نور منتشر می شوند. در ضمن ماکسول تاکید کرد در طبیعت به جز موج های کوتاه، موجهای الکترومغناطیسی بلند هم وجود دارند. پیش بینی ماکسول به حقیقت پیوست و ۲۵ سال بعد، موجهای رادیویی کشف شدند. در زمان ما دقت فیزیک امروزی متوجه ذره های بنیادی است که مهم ترین آنها الکترون، پروتون و نوترون هستند. ولی آیا شما می دانید همه ی این ذره های بنیادی پیش از مشاهده پیشگویی و بعد کشف شدند. نخستین ذره ی بنیادی یعنی الکترون را ژوزف جان تامسون، فیزیکدان انگلیسی (۱۸۵۶-۱۹۴۰) کشف کرد ولی پیش بینی آن را ج بستون، فیزیکدان ایرلندی در سال ۱۸۷۲ و سپس هلمهولتس (۱۸۲۱-۱۸۹۲) فیزیکدان و ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۱ کرده بودند.
مساله ای به نام حرکت ذره های ریز- الکترون ها، پروتونها، نوترونها و . . . وجود دارد که بررسی آن، قانون تغییر ذره ها را در شرایط متفاوت مشخص و تنظیم می کند. در این بررسی بسیاری از پدیده های مربوط به فیزیک اتمی و فیزیک هسته ای روشن می شوند. این بررسی به صورت یکی از شاخه های فیزیک در آمده است و به نام مکانیک “کوانتایی” معروف است.
بسیاری از کشف های مربوط به مکانیک کوانتایی و بسیاری از قانون های آن براساس پیشگویی های نظری و بر اساس نظریه ها و روش های ریاضی به دست آمده اند. دانشمندان هم براساس همین پیشگویی های نظری، بررسی ها و پژوهش های آزمایشی خود را انجام دادند و در نتیجه مساله های زیادی روشن و قانون های بنیادی مهمی تنظیم شدند.
آیا تنها در مکانیک کوانتایی است که در آغاز به یاری ریاضیات، حکم نظری تازه و تازه تری را کشف کردند و سپس از راه آزمایش آنها را تایید کردند؟
در زمینه ی سینماتیک گازها هم پیش تر به صورت نظری، بستگی بین درجه ی حرارت، مالش (اصطکاک) دایمی گازها و ارزش نسبی و مجرد انتشار ثابت با هدایت حرارت، محاسبه می شد و سپس بر اساس این محاسبه کشف های مهم و با ارزشی صورت گرفت.
موفقیت های تازه و کشف های جدیدی که در فیزیک، شیمی، اخترشناسی، زیست شناسی و سایر دانش های طبیعی و فنی به دست آمده اند. براساس تشکیل نظریه های تازه ی ریاضی و یا استفاده از نظریه های کهنه و فراموش شده ی ریاضی انجام گرفته است.

http://www.academist.ir/?p=713

 

 

((( شاهکارهای ریاضی از موم )))

 

                                          (مثالی از کاربردمنشورها در طبیعت )

 

اگر وجود حشره ای می تواند ، با  حل سریع یک مسئله ی هندسی ، ما را دچار شگفتی کند ، می توان به آ نچه که ساکنین کندوهای عسل ایجاد می کنند ، شاهکارهای ریاضی نامید .

ساختمان شانه های کندو از یک رشته شبکه های مومی شش وجهی تشکیل شده اند که در دو قشر چیده شده اند و با کفهای مشترکی بهم مربوطند .عمق این شبکه 3/11 میلی متر ، عرض هر یک از شش دیواره ی شبکه مساوی 71/2 میلی متر و ضخامت آن مساوی ضخامت یک کاغذ نوشتنی معمولی است .

 

بررسی این مطلب جالب است که چرا زنبور عسل برای مقطع منشور مومی خود ؛ شکل شش گوش را انتخاب کرده است ؟

این نتیجه  ی تلاش مصرف کردن  حداقل سطح در داخل یک گوشه ی تنگ است . قبل از همه باید چند ضلعی را به این شکل انتخاب کرد تا با تکرار آن بتوان سطح کندو را بدون هیچ فاصله و شکافی پوشانید.

چه شکلهای منتظمی برای این منظورمناسبند ؟ ( البته این موضوع توسط فیثاغورث کشف شد )

این چند ضلعیها عبارتند از : مثلث  ، مربع و شش ضلعی   . به همین مناسبت زنبورهای هوشمند درباره ی چند ضلعیهای دیگر حتی فکر هم نکرده اند ؛زیرا در این صورت برای پر کردن سطح کندو می بایست از دو یا چند نوع مختلف شبکه استفاده کنند که مستلزم کار پیچیده تر و بیشتری بود . به این ترتیب آنها می توانستند از یکی از این سه نوع شکل استفاده کنند.

 و آنها از این سه حالت ممکن ، شش ضلعی را انتخاب کردند . چرا ؟

برای اینکه در بین این سه شکل ، وقتی که مساحتهای مساوی داشته باشند ،شش ضلعی کمترین محیط  را دارد . یعنی وقتی که خانه ها را با قاعده ی شش ضلعی می سازند ، با حداقل مصرف موم ، حداکثر حجم رابدست می آورند .

http://ziaie.blogfa.com/post-11.aspx

 

جمع بندی و نتیجه گیری

بنابر این باید اعتراف کرد که ریاضی زائیده طبیعت است و این ریاضیات و علم ریاضی است که طبیعت پیچیده ما را توضیح می دهد و وجود چیزها را اثبات می نماید .

بنابراین هر معلمی در کلاس درس خود باید به دانش آموزان یاد دهد که هیچ دانشمندی قوانین و قضیایای ریاضیات را صرف  نابغه بودن  خود کشف نکرده است بلکه با دقت در طبیعت و توجه به مسائل موجود آنها را به دست آورده و اگر ما هم مسائل ریاضی را می آموزیم برای این است که بتوانیم گامی فراتر از آنان که این زمینه ها را برای ما فراهم آورده اند بگذاریم و به مسائلی که قضیایای به دست آمده تاکنون می تواند زیرمسئله آن مسائل جدید باشد دست پیدا کنیم . اگر می آموزیم برای اعداد  بتوانیم الگوهایی را بیابیم برای این است که ذهنمان برای الگوهای پیچیده تر طبیعت و زندگی مان بازتر و آماده تر باشد اگر نمی دانستیم خشت اول گرگذارد معمار کج    حتما تا ثریا می رفت دیوار کج .

 

 

 

 

منابع

 

آموزش هنر حل مسئله ( ریاضیات تکمیلی). تابش ،جواد و جمعی از همکاران . 1379.چاپ و نشر کتاب های درسی ایران

 

http://www.academist.ir/?p=713           بانک مقالات علمی به زبان فارسی   .1387

http://forum.gigapars.com/showthread.php?t=5841

زیبایی شناسی در ریاضیات . 1387

http://math-phys.blogfa.com/  و خداوند جهان را بر اساس ریاضی آفرید. 1387            

 

http://ziaie.blogfa.com/post-11.aspx    لیلی ضیائی.درس شیرین ریاضی.1385

 

 

http://fa.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%DB%8C%D8%A7%D8%B6%DB%8C%D8%A7%D8%AA

دانشنامه ریاضی . ویکی پدیا

www.aftab.ir  جهان ریاضی است. سایت آفتاب .1385.دکتر محمد جهنشاهی . روزنامه همشهری       

 

عدد پی هر دایره، حتی قرص خورشیدی که در این تصویر از کسوف کامل در کاپادوچیای ترکیه در سال 2006 گرفته شده است، بدون استثناء از این قاعده پیروی می کند که محیط تقسیم بر قطر برابر با عدد پی است. این عدد اولین بار به طور نه چندان دقیق توسط مصریان و بابلیان محاسبه شد. رقم اعشار پی (...1415926/3) تا حدود هزار میلیون رقم محاسبه شده است.

تناسب طلایی (فی) نسبت اعداد متوالی در دنباله‌ی فیبوناچی، به عددی معروف به نسبت طلایی یا فی (= ...618033989/1) نزدیک مي‌شود. این تناسب  زیباشناختیٍ جذاب، در بسیاری از طرح‌های معمارانه‌ی ساخت بشر و همچنین در معماری گیاهان یافت می‌شود. مارپیچ طلاییِ تشکیل‌شده، به شیوه‌ای شبیه به مارپیچ فیبوناچی را می‌توان با دنبال کردن طرح دانه‌های آفتابگردان از مرکز به طرف خارج در تصویر روبه‌رو مشاهده کرد.

 

آیا یک بی‌نهایت (بیکران) از بی‌نهایت دیگر بزرگ‌تر است؟ تعداد همه‌ی اعداد طبیعی مانند ... ,1,2,3 بی‌نهایت است. همچنین مجموعه‌ی اعداد بین صفر و یک بیکران است. آیا یک مجموعه‌ی اعداد از مجموعه‌ی اعداد دیگر بزرگ‌تر خواهد بود؟ سوال های عمیق ریاضیات مانند این می تواند در شما احساسی از کوچکی در عالم پهناور ایجاد کند؟

با عرض سلام و تسلیت ایام شهادت حضرت رسول اکرم , حضرت امام حسن مجتبی و حضرت ثامن الحجج علیهم السلام

به امید الگوسازی سیره اهل بیت (ع) انشالله سایه عنایت خاندان عصمت و طهارت بر سر ما مستدام باشد .

با سلام خدمت همکاران محترم

به منظور مشارکت و هم فکری شما در پویایی وتعالی برنامه ها واقدامات گروه این وبلاگ ایجاد شده  است و انتظار می رود شاهد همراهی موثر شما باشیم لطفا حداکثر ظرف ده روز اتی پیشنهادات خود را برای تدوین برنامه سال جاری گروه از طریق وبلاگ ویا به ادرس ایمیل زیر اعلام فرمایید

  mahboobeh_shahmoradi55@yahoo.com

باسلام و عرض ادب
خداوند را شاکرم که توفیق فعالیتهای علمی و آموزشی را برای ما فراهم نمود تا سهمی در پیشرفت و اعتلای میهنمان داشته باشیم .
آرزو میکنم در این روزهای عزیز عزداریهای شما نیز مورد قبول حضرت حق قرار گیرد و سایه پر مهر حضرت سیدالشهدا ( ع ) و اهل بیت عصمت و طهارت تا ابد بر سر ارادتمندان آن حضرت مستدام باشد .

انشالله با همراهی شما سروران گروه ریاضی منطقه 5 همانند همیشه سربلند و پرافتخار باشد.
شاه مرادی سرگروه ریاضی

 برای دانلود هندسه 2  اینجا کلیک کنید.

برای دانلود جبر احتمال  اینجا کلیک کنید. 

برای دانلود ریاضی 3  اینجا کلیک کنید. 

برای دانلود ریاضی سوم انسانی  اینجا کلیک کنید. 

برای دانلود ریاضی 3 فنی و کامپیوتر اینجا کلیک کنید. 

برای دانلود حساب دیفرانسیل و انتگرال اینجا کلیک کنید. 

 برای دانلود حسابان  اینجا کلیک کنید.